1. 数学基础

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参考

    高等代数. 高等敎育出版社, 2003.     Tomas Akenine-Möller, Eric Haines, and Naty Hoffman. Real-time rendering. CRC Press, 2011.     F. Hill, and S. Kelley. Computer Graphics Using OpenGL, 3/E, Pearson, 2007.

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1.4. 图形变换

  本篇文章禁止用于任何商业目的,版权申明、版本说明等见《前言》。 PDF文档和源码下载地址:https://github.com/twinklingstar20/Programmers_Computational_Geometry 1.4. 图形变换 图形变换包括平移、旋转、缩放、错切、正交变换等,由于本书的特点,这里只介绍其中最简单的平移、旋转、缩放变换,这几种变换都是仿射变换,所谓的仿射变换就是指两条互相平行的直线,经过变换后,仍能够保持平行特性的变换。在图形学中,齐次表示占有非常重要的位置,点表示空间上的一个位置,向量表示一个方向而没有具体的位置,因此点的位移是有意义的,但是向量的位移是没有意义的。在\(n\)维空间上,把点和向量扩展一维,就是它们的齐次表示,点\(P\)的齐次表示为\(({p_1},{p_2}, \cdots ,{p_n},1)\),向量\(\vec v\)的齐次表示为\(({v_1},{v_2}, \cdots ,{v_n},0)\)。采用齐次表示,三维空间上的图形变换包括旋转、位移等都可以用一个\(4 \times 4\)的矩阵来表示,矩阵的连乘就是各个矩阵变换的叠加。 1.4.1. 平移变换 从一个位置到另一个位置的变化,可以用平移矩阵\({T_n}\)表示,其中,\(n\)表示维度,\(n\)取2或者3。平移矩阵可以表示为: \begin{eqnarray*} {T_n} = \left( {\begin{array}{*{20}{l}}1&0& \cdots &0&{{t_1}}\\0&1& \cdots &0&{{t_2}}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\0&0& \cdots &1&{{t_n}}\\0&0& \cdots &0&1\end{array}} \right)

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1.3. 方阵

本篇文章禁止用于任何商业目的,版权申明、版本说明等见《前言》。 PDF文档和源码下载地址:https://github.com/twinklingstar20/Programmers_Computational_Geometry 1.3. 方阵 方阵是矩阵中的特殊性况,指的是行数和列数都相等的矩阵。 1.3.1. 特殊矩阵 1.    对角矩阵 对角矩阵是指除对角线元素外的其它所有元素都为0的方阵 \begin{eqnarray} A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{1,1}}}&0& \cdots &0\\ 0&{{a_{2,2}}}& \ldots &0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0&0& \ldots &{{a_{n,n}}}\end{array}} \right) \tag{1.20} \end{eqnarray} 前面介绍的单位矩阵、数量矩阵都是对角矩阵,对角矩阵具有一些很有用的性质。 如果\(A\)和\(B\)是对角矩阵,则\(C = AB\)也是对角矩阵。计算\(C\)时,不需要进行完整的矩阵计算,可以采用较高效的方法:\({c_{i,i}} = {a_{i,i}}{b_{i,i}}\),其它元素为0。 对角矩阵的乘法具有交换性:如果\(A\)和\(B\)是对角矩阵,则\(C

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1.2. 矩阵

本篇文章禁止用于任何商业目的,版权申明、版本说明等见《前言》。 PDF文档和源码下载地址:https://github.com/twinklingstar20/Programmers_Computational_Geometry 1.2. 矩阵 1.2.1. 矩阵定义 一个\(m \times n\)的矩阵是一个由\(m\)行\(n\)列元素排列成的矩形阵列,矩阵里的元素可以是数字、符号或数学式。以下是一个由6个数构成的2行3列的矩阵: \ 对于\(m \times n\)的矩阵,如果\(m = n\),则这样的矩阵叫做方阵,对于一般的矩阵,可以表示为: \ 有时候为了指明所讨论的矩阵的级数,可以把\(m

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1.1. 向量

本篇文章禁止用于任何商业目的,版权申明、版本说明等见《前言》。 PDF文档和源码下载地址:https://github.com/twinklingstar20/Programmers_Computational_Geometry 1.1. 向量 向量是计算机图形几何学中的一个基本概念,它的地位是不容忽视的,例如,物体的坐标、运动轨迹等都可以用向量来表示。本节会介绍向量定义,基本的线性运算,点积,叉积,以及向量空间上的一些重要概念。 1.1.1. 定义 向量是计算几何中的基本概念,指一个同时具有大小和方向的几何对象。直观上,向量通常被标示为一个带箭头的线段如图1.1所示,线段的长度可以表示向量的大小,向量的方向也就是箭头所指的方向。可以用一个多元组来表示一个向量,\(n\)个有次序的数\({x_1},\)\({x_2}, \cdots ,{x_n}\)所组成的数组称为n维向量,这\(n\)个数称为该向量的\(n\)个分量,第\(i\)个数\({x_i}\)称为第\(i\)个分量,如等式(1.1)所示。向量的大小称为模长,如等式(1.2)所示。 \ \ 图1.1 向量表示 \(n\)维向量可以写成一行,称为行向量;\(n\)维向量写成一列,称为列向量。分别如等式(1.1)和(1.3)所示,行向量和列向量总被看成是两个相同的向量。设\(n\)维的行向量是\(\vec u\),它的列向量可以表示为\({\vec u^T}\),反之也是可以的。 \

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