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2.1. 平面简介

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2.1. 平面简介

直观的讲,平面就是一个平坦的无穷大的纸,上面有无穷个点。在三维空间的任何一个平面\(\Gamma \),都可以用参数方程表示为:

\[\Gamma :a \cdot x + b \cdot y + c \cdot z + d = 0 \tag{2.1}\]

其中,\(a,b,c,d\)是常量且不全为0,\(\left( {x,y,z} \right)\)表示点的坐标,即任意一个满足等式(2.1)的点都在平面\(\Gamma \)上。\(\left( {x,y,z} \right)\)构成平面的法向量\(\vec n\),因此平面的参数方程的另一种形式为:

\[\Gamma :\vec n \cdot P + d = 0 \tag{2.2}\]

其中,\(\vec n\)是平面的法向量,\(d\)是常量,\(P\)是变量,表示满足方程的点。

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图2.1 平面的表示

如图2.1所示,显然,只需要一个三维法向量\(\vec n\)和常量\(d\),就可以表示三维空间的平面。向量\(\vec n\)是平面的法向量,即垂直于平面\(\Gamma \),法向量所指的方向是平面的正方向,与它相对的,则是平面的负方向。平面在正方向上的面,称为平面的正面,与它对应的是平面的背面。一个平面把三维空间分成两半,这样一个平面,也称为超平面,分成的两半三维空间称为半空间,在平面正方向上的空间称为正半空间,在平面负方向上的空间称为负半空间。在实际实现平面对象的时候,可以根据具体的情况,选择是否需要对法向量 进行归一化,毕竟归一化需要3个乘法、2个加法和1个求根操作,而且可能加剧浮点数的精度问题。

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图2.2 平面的另一种表示

此外,给定平面上的一个点,在它上面的两个向量,也可以表示平面。如图2.2所示,设\(P\)在平面\(\Gamma \)上,\(\vec u\)\(\vec v\)是平面上不平行的两个向量,可以把它们看成由点\(P\)引出的两个指向平面上不同方向的方向向量,那么任意一组实数\(s,t\)构成平面上的所有点\(M\)

\[M = P + s\vec v + t\vec u \tag{2.3}\]

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图2.3 两个平面间的关系

两个不同的平面,要么平行,要么相交于一条直线。如图2.3所示,图(a)中两个平面\({\Gamma _1}\)\({\Gamma _2}\)是相互平行的;如果它们不平行,那么它们一定相交于一条直线,如图(b)所示。

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图2.4 三个平面间的关系

但对于三个不同的平面,则有五种不同的关系。如图2.4所示,图(a)中,三个平面互相平行;图(b)中,平面\({\Gamma _1}\)\({\Gamma _2}\)\({\Gamma _3}\)互相相交于直线\({L_1}\);图(c)中,平面\({\Gamma _1}\)分别与\({\Gamma _2}\)\({\Gamma _3}\)相交于直线\({L_1}\)\({L_2}\),平面\({\Gamma _2}\)\({\Gamma _3}\)互相平行且相交的直线\({L_1}\)\({L_2}\)也是互相平行的;图(d)中,平面\({\Gamma _1}\)\({\Gamma _2}\)相交于直线\({L_3}\),平面\({\Gamma _1}\)\({\Gamma _3}\)相交于直线\({L_1}\),平面\({\Gamma _2}\)\({\Gamma _3}\)相交于直线\({L_2}\),相交的三条直线互相平行;图(e)中,平面\({\Gamma _1}\)\({\Gamma _2}\)相交于直线\({L_2}\),平面\({\Gamma _1}\)\({\Gamma _3}\)相交于直线\({L_1}\),平面\({\Gamma _2}\)\({\Gamma _3}\)相交于直线\({L_3}\),三个平面经过同一个点。

平面有很多重要的性质,例如:

  1. 垂直于同一个平面的两条不同的直线,是互相平行的;
  2. 垂直于同一条直线的两个不同的平面,是互相平行的;
  3. 对于一条直线与平面的关系,要么在平面上,要么平行于平面,要么与平面相交于一点。
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