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1.3. 方阵

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1.3. 方阵

方阵是矩阵中的特殊性况,指的是行数和列数都相等的矩阵。

1.3.1. 特殊矩阵

1.    对角矩阵

对角矩阵是指除对角线元素外的其它所有元素都为0的方阵

\begin{eqnarray}
A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{1,1}}}&0& \cdots &0\\
0&{{a_{2,2}}}& \ldots &0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0&0& \ldots &{{a_{n,n}}}\end{array}} \right)
\tag{1.20}
\end{eqnarray}

前面介绍的单位矩阵、数量矩阵都是对角矩阵,对角矩阵具有一些很有用的性质。

  1. 如果\(A\)\(B\)是对角矩阵,则\(C = AB\)也是对角矩阵。计算\(C\)时,不需要进行完整的矩阵计算,可以采用较高效的方法:\({c_{i,i}} = {a_{i,i}}{b_{i,i}}\),其它元素为0。
  2. 对角矩阵的乘法具有交换性:如果\(A\)\(B\)是对角矩阵,则\(C = AB = BA\)
  3. 如果\(A\)是对角矩阵,\(B\)是一般矩阵,并且\(C = AB\),则\(C\)的第\(i\)行等于\({a_{i,i}}\)乘以\(B\)的第\(i\)行;如果\(C = BA\),则\(C\)的第\(i\)列等于\({a_{i,i}}\)乘以\(B\)的第\(i\)列。

2.    三角矩阵

三角矩阵是方形矩阵的一种,因其非零系数的排列呈三角形状而得名。两个特别重要的三角矩阵分别称为上三角矩阵和下三角矩阵,一个上三角矩阵的形式为

\begin{eqnarray}
A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{1,1}}}&{{a_{1,2}}}& \cdots &{{a_{1,n}}}\\
0&{{a_{2,2}}}& \ldots &{{a_{2,n}}}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0&0& \ldots &{{a_{m,n}}}\end{array}} \right)
\tag{1.21}
\end{eqnarray}

一个下三角矩阵的形式为

\begin{eqnarray}
A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{1,1}}}&0& \cdots &0\\{{a_{2,1}}}&{{a_{2,2}}}& \ldots &0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\{{a_{m,1}}}&{{a_{m,2}}}& \ldots &{{a_{m,n}}}\end{array}} \right)
\tag{1.22}
\end{eqnarray}

三角矩阵具有一些重要的性质:

  1. 如果\(A\)\(B\)是上(下)三角矩阵,它们的加减法和乘法运算的结果仍是上(下)三角矩阵。
  2. 上(下)三角矩阵的逆仍然是上(下)三角矩阵。
  3. 上(下)三角矩阵的行列式是对角系数的乘积。(逆的概念参见第1.3.5节)

1.3.2. 行列式

对于行数和列数相同的方阵才有行列式的概念,给定一个\(n \times n\)的矩阵\(M\)

\[M = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{1,1}}}&{{a_{1,2}}}& \cdots &{{a_{1,n}}}\\{{a_{2,1}}}&{{a_{2,2}}}& \ldots &{{a_{2,n}}}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\{{a_{n,1}}}&{{a_{n,2}}}& \ldots &{{a_{n,n}}}\end{array}} \right) \tag{1.23}\]

定义一个\(n\)级行列式

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{1,1}}}&{{a_{1,2}}}& \cdots &{{a_{1,n}}}\\{{a_{2,1}}}&{{a_{2,2}}}& \ldots &{{a_{2,n}}}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\{{a_{n,1}}}&{{a_{n,2}}}& \ldots &{{a_{n,n}}}\end{array}} \right| \tag{1.24}\]

称为矩阵\(M\)的行列式,记作\(\left| M \right|\)

现在考虑行列式的计算,对于\(n\)级行列式

\begin{eqnarray*}
\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{1,1}}}& \cdots &{{a_{1,j}}}& \cdots &{{a_{1,n}}}\\ \vdots &{}& \vdots &{}& \vdots \\{{a_{i,1}}}& \cdots &{{a_{i,j}}}& \cdots &{{a_{i,n}}}\\ \vdots &{}& \vdots &{}& \vdots \\{{a_{n,1}}}& \cdots &{{a_{n,j}}}& \cdots &{{a_{n,n}}}\end{array}} \right|
\end{eqnarray*}

中,划去元素\({a_{i,j}}\)所在的第\(i\)行和第\(j\)列,剩下的\({(n - 1)^2}\)个元素按原来的排法构成一个\(n - 1\)级的行列式

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{1,1}}}& \cdots &{{a_{1,j - 1}}}&{{a_{1,j + 1}}}& \cdots &{{a_{1,n}}}\\ \vdots &{}& \vdots & \vdots &{}& \vdots \\{{a_{i - 1,1}}}& \cdots &{{a_{i - 1,j - 1}}}&{{a_{i - 1,j + 1}}}& \cdots &{{a_{i - 1,n}}}\\{{a_{i + 1,1}}}& \cdots &{{a_{i + 1,j - 1}}}&{{a_{i + 1,j + 1}}}& \cdots &{{a_{i + 1,n}}}\\ \vdots &{}& \vdots & \vdots &{}& \vdots \\{{a_{n,1}}}& \cdots &{{a_{n,j - 1}}}&{{a_{n,j + 1}}}& \cdots &{{a_{n,n}}}\end{array}} \right| \tag{1.25}\]

称为元素\({a_{ij}}\)余子式,记为\({M_{i,j}}\),称\({A_{i,j}} = {( - 1)^{i + j}}{M_{i,j}}\)代数余子式,则对于\(n\)级行列式,如下等式成立:

\[\begin{array}{l}{a_{k,1}}{A_{i,1}} + {a_{k,2}}{A_{i,2}} + \cdots + {a_{k,n}}{A_{i,n}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| M \right|,}&{k = i}\\{0,}&{k \ne i}\end{array}} \right.\\{a_{1,h}}{A_{1,j}} + {a_{2,h}}{A_{2,j}} + \cdots + {a_{n,h}}{A_{n,j}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| M \right|,}&{h = j}\\{0,}&{h \ne j}\end{array}} \right.\end{array} \tag{1.26}\]

按这个定义,3级行列式可以改写成

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{1,1}}}&{{a_{1,2}}}&{{a_{1,3}}}\\{{a_{2,1}}}&{{a_{2,2}}}&{{a_{2,3}}}\\{{a_{3,1}}}&{{a_{3,2}}}&{{a_{3,3}}}\end{array}} \right| = {a_{1,1}}{( - 1)^{1 + 1}}{M_{1,1}} + {a_{1,2}}{( - 1)^{1 + 2}}{M_{1,2}} + {a_{1,3}}{( - 1)^{1 + 3}}{M_{1,3}}\]

举个计算行列式的例子,

\begin{eqnarray*}
\left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&3&{ - 1}&2&0\\1&7&2&5&2\\0&{ - 2}&3&1&0\\0&{ - 4}&{ - 1}&4&0\\0&2&3&5&0\end{array}} \right| = {( - 1)^{2 + 5}}2\left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&3&{ - 1}&2\\0&{ - 2}&3&1\\0&{ - 4}&{ - 1}&4\\0&2&3&5\end{array}} \right| = ( - 2){( - 1)^{1 + 1}}5\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&3&1\\{ - 4}&{ - 1}&4\\2&3&5\end{array}} \right|
\end{eqnarray*}

行列式具有一些特别重要的性质:

  • 行列互换,行列式不变,即\(\left| M \right| = \left| {{M^T}} \right|\)
  • 一行(列)的公因子可以提出去,或者说一数乘行列式的一行(列)就相当于这个数乘以此行列式,如果一行列式中一行(列)为零,那么行列式为零,即

2015-3-21 21-43-54

  • 如果某一行(列)是两组数的和,那么这个行列式就等于两个行列式的和,而这两个行列式除这一行(列)以外全与原来行列式的对应行(列)一样,即

2015-3-21 21-44-04

  • 如果行列式中有两行(列)相同,那么行列式为零,所谓两行(列)相同就是说两行(列)的对应元素都相等。
  • 如果行列式中两行(列)成比例,那么行列式为零。
  • 把一行(列)的倍数加到另一行(列),行列式不变。
  • 对换行列式中两行(列)的位置,行列式反号。

这些性质可以帮助我们计算行列式的值,例如计算行列式

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&5&{ - 1}&3\\1&{ - 9}&{13}&7\\3&{ - 1}&5&{ - 5}\\2&8&{ - 7}&{ - 10}\end{array}} \right|\]

行列式的计算过程为

\begin{eqnarray*}
\begin{array}{l}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&5&{ - 1}&3\\1&{ - 9}&{13}&7\\3&{ - 1}&5&{ - 5}\\2&8&{ - 7}&{ - 10}\end{array}} \right| =  - \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 9}&{13}&7\\{ - 2}&5&{ - 1}&3\\3&{ - 1}&5&{ - 5}\\2&8&{ - 7}&{ - 10}\end{array}} \right| =  - \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 9}&{13}&7\\0&{ - 13}&{25}&{17}\\0&{26}&{ - 34}&{ - 26}\\0&{26}&{ - 33}&{ - 24}\end{array}} \right| =  - \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 9}&{13}&7\\0&{ - 13}&{25}&{17}\\0&0&{16}&8\\0&0&{17}&{10}\end{array}} \right|\\ =  - \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 9}&{13}&7\\0&{ - 13}&{25}&{17}\\0&0&{16}&8\\0&0&0&{\frac{3}{2}}\end{array}} \right| =  - ( - 13) \cdot 16 \cdot \frac{3}{2} = 312\end{array}
\end{eqnarray*}

第一步是互换第1,2两行,然后都是把一行的倍数加到另一行,不难算出,用这个方法计算一个\(n\)级的数字行列式只需要做\(O({n^2})\)次乘法和除法。

1.3.3. 线性方程组

一般的线性方程组是指形式为

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{1,1}}{x_1} + {a_{1,2}}{x_2} + \cdots + {a_{1,n}}{x_n} = {b_1}}\\{{a_{2,1}}{x_1} + {a_{2,2}}{x_2} + \cdots + {a_{2,n}}{x_n} = {b_2}}\\{ \cdots \cdots \cdots \cdots }\\{{a_{m,1}}{x_1} + {a_{m,2}}{x_2} + \cdots + {a_{m,n}}{x_n} = {b_m}}\end{array}} \right. \tag{1.27}\]

的方程组,其中\({x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}\)代表\(n\)个未知量,\(m\)是方程个数,\({a_{i,j}}(i = 1,2, \cdots ,s,j = 1,2, \cdots ,n)\)称为方程组的系数\({b_j}(j = 1,2, \cdots ,s)\)称为常数项。方程组中未知量的个数\(n\)与方程的个数\(s\)不一定相等。

求此类线性方程组的解的一种基本做法就是消元法,例如,解方程组

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{x_1} - {x_2} + 3{x_3} = 1}\\{4{x_1} + 2{x_2} + 5{x_3} = 4}\\{2{x_1} + {x_2} + 2{x_3} = 5}\end{array}} \right.\]

把第二个方程减去第一个方程的2倍,第三个方程减去第一个方程,就变成

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{r}}{2{x_1} - {x_2} + 3{x_3} = 1}\\{2{x_2} + 5{x_3} = 2}\\{2{x_2} - {x_3} = 4}\end{array}} \right.\]

把第二个方程减去第三个方程的2倍,把第二、第三两个方程的次序互换,即得

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{r}}{2{x_1} - {x_2} + 3{x_3} = 1}\\{4{x_2} - {x_3} = 4}\\{{x_3} = - 6}\end{array}} \right.\]

这样就很容易求出方程组的解为\((9, - 1, - 6)\)

分析一下消元法,不难看出,它实际上是反复地对方程组进行变换,所作的变换也只是由以下三种基本的变换所构成:

  1. 用一非零的数乘以某一方程;
  2. 把一个方程的倍数加到另一个方程;
  3. 互换两个方程的位置。

克拉默法则(Gramer:这里考虑方程个数与未量的个数相等的线性方程组,如果线性方程组

\begin{eqnarray*}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{11}}{x_1} + {a_{12}}{x_2} +  \cdots  + {a_{1n}}{x_n} = {b_1}}\\{{a_{21}}{x_1} + {a_{22}}{x_2} +  \cdots  + {a_{2n}}{x_n} = {b_2}}\\{ \cdots  \cdots  \cdots  \cdots }\\{{a_{n1}}{x_1} + {a_{n2}}{x_2} +  \cdots  + {a_{nn}}{x_n} = {b_n}}\end{array}} \right.
\end{eqnarray*}

的系数矩阵

\begin{eqnarray*}
A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \cdots &{{a_{1n}}}\\{{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \ldots &{{a_{2n}}}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\{{a_{m1}}}&{{a_{m2}}}& \ldots &{{a_{mn}}}\end{array}} \right)
\end{eqnarray*}

的行列式\(d = \left| A \right| \ne 0\),那么线性方程组有解,并且解是唯一的,解可以通过系数表示为

\begin{eqnarray*}
{x_1} = \frac{{{d_1}}}{d},{x_2} = \frac{{{d_2}}}{d}, \cdots ,{x_n} = \frac{{{d_n}}}{d}
\tag{1.28}
\end{eqnarray*}

其中,\({d_j}\)是把矩阵\(A\)中第\(j\)列换成方程组的常数项\({b_1},{b_2}, \cdots ,{b_n}\)所成的矩阵的行列式,即

\begin{eqnarray*}
{d_j} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{11}}}& \cdots &{{a_{1,j - 1}}}&{{b_1}}&{{a_{1,j + 1}}}& \cdots &{{a_{1n}}}\\{{a_{2,1}}}& \cdots &{{a_{2,j - 1}}}&{{b_2}}&{{a_{2,j + 1}}}& \cdots &{{a_{2n}}}\\ \vdots &{}& \vdots & \vdots & \vdots &{}& \vdots \\{{a_{n1}}}& \cdots &{{a_{n,j - 1}}}&{{b_n}}&{{a_{n,j + 1}}}& \cdots &{{a_{n n}}} \end{array}} \right|,j = 1,2, \cdots,n
\tag{1.29}
\end{eqnarray*}

定理中包含着三个结论:1)方程组有解;2)解是唯一的;3)解由公式(3)给出。

例如,解方程组

\begin{eqnarray*}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{x_1}}&{ + {x_2}}&{ - 5{x_3}}&{ + {x_4}}&{ = 8,}\\{{x_1}}&{ - 3{x_2}}&{}&{ - 6{x_4}}&{ = 9,}\\{}&{2{x_2}}&{ - {x_3}}&{ + 2{x_4}}&{ = - 5,}\\{{x_1}}&{ + 4{x_2}}&{ - 7{x_3}}&{ + 6{x_4}}&{ = 0.}\end{array}} \right.
\end{eqnarray*}

方程组的系数行列式

\begin{eqnarray*}
d = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1&{ - 5}&1\\1&{ - 3}&0&{ - 6}\\0&2&{ - 1}&2\\1&4&{ - 7}&6\end{array}} \right| = 27 \ne 0
\end{eqnarray*}

可以应用克拉默法则,由于

2015-3-21 21-13-17

所以方程组的唯一解为\({x_1} = 3,{x_2} = - 4,{x_3} = - 1,{x_4} = 1\)

常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组,显然齐次线性方程组总是有解的,因为\((0,0, \cdots ,0)\)就是一个解,把它称为零解。对于齐次线性方程组,我们关心的问题常常是,它除去零解以外有没有其它解,或者说,它有没有非零解。对于方程个数与未知量个数相同的齐次线性方程组,应用克拉默法则就有

如果齐次线性方程组

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{11}}{x_1} + {a_{12}}{x_2} + \cdots + {a_{1n}}{x_n} = 0}\\{{a_{21}}{x_1} + {a_{22}}{x_2} + \cdots + {a_{2n}}{x_n} = 0}\\{ \cdots \cdots \cdots \cdots }\\{{a_{n1}}{x_1} + {a_{n2}}{x_2} + \cdots + {a_{nn}}{x_n} = 0}\end{array}} \right.\]

的系数矩阵的行列式\(d = \left| A \right| \ne 0\),那么它只有零解,换句话说,如果方程组有非零解,那么必有\(\left| A \right| = 0\)

1.3.4.  特征值和特征向量

给定一个向量空间\(E\),从\(E\)\(E\)自身的线性变换\(T\)是一个保持向量加法和标量乘法的函数,一个线性变换可以通过它们在向量上的作用来可视化。直观上,线性变换可以理解为旋转、反射、拉伸、压缩等变换的组合,线性变换可以用一个矩阵来表示。例如,最简单的线性变换是恒等变换,可以用单位矩阵\(E\)表示,任意一个向量与矩阵\(E\)相乘,得到的结果仍然是向量本身。

\(A\)是向量空间的一个线性变换,如果对于给定一个数\({\lambda _0}\),存在一个非零向量\(\vec \xi \),使得\(A\vec \xi = {\lambda _0}\vec \xi \),那么\({\lambda _0}\)就称为\(A\)的特征值,\(\vec \xi \)称为\(A\)的属于特征值\({\lambda _0}\)的特征向量。

\(\vec \xi \)是线性变换\(A\)的属于特征向量\({\lambda _0}\)的特征向量,那么\(\vec \xi \)的任何一个非零倍数\(k\vec \xi \)也是\(A\)的属于\({\lambda _0}\)的特征向量,因为\(A(k\vec \xi ) = {\lambda _0}(k\vec \xi )\)。这说明特征向量不是被特征值所唯一决定的,相反特征值却是被特征向量唯一决定的,因为一个特征向量只能属于一个特征值。

如何寻找一个线性变换\(A\)的特征值和特征向量呢?设特征向量,由特征向量的定义可得到如下线性方程组

\begin{eqnarray}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{11}}{x_1} + {a_{12}}{x_2} +  \cdots  + {a_{1n}}{x_n} = {\lambda _0}{x_1}}\\{{a_{21}}{x_1} + {a_{22}}{x_2} +  \cdots  + {a_{2n}}{x_n} = {\lambda _0}{x_2}}\\{ \cdots  \cdots  \cdots  \cdots }\\{{a_{n1}}{x_1} + {a_{n2}}{x_2} +  \cdots  + {a_{nn}}{x_n} = {\lambda _0}{x_n}}\end{array}} \right.
\tag{1.30}
\end{eqnarray}

由于\(\vec \xi \ne \vec 0\),即齐次方程组有非零解,该齐次方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式为零,即\(\vec \xi = {({x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n})^T}\)

\begin{eqnarray}
\left| {{\lambda _0}E - A} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{\lambda _0} - {a_{11}}}&{ - {a_{12}}}& \cdots &{ - {a_{1n}}}\\{ - {a_{21}}}&{{\lambda _0} - {a_{22}}}& \cdots &{ - {a_{2n}}}\\ \vdots & \vdots &{}& \vdots \\{ - {a_{n1}}}&{ - {a_{n2}}}& \cdots &{{\lambda _0} - {a_{nn}}}\end{array}} \right| = 0
\tag{1.31}
\end{eqnarray}

\(A\)是一个\(n\)级矩阵,\(\lambda \)是一个数字,矩阵\(\lambda E - A\)的行列式

\begin{eqnarray}
\left| {\lambda E - A} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\lambda  - {a_{11}}}&{ - {a_{12}}}& \cdots &{ - {a_{1n}}}\\{ - {a_{21}}}&{\lambda  - {a_{22}}}& \cdots &{ - {a_{2n}}}\\ \vdots & \vdots &{}& \vdots \\{ - {a_{n1}}}&{ - {a_{n2}}}& \cdots &{\lambda  - {a_{nn}}}\end{array}} \right|
\tag{1.32}
\end{eqnarray}

称为\(A\)的特征多项式,这是一个\(n\)次多项式。

如果\({\lambda _0}\)是线性变换\(A\)的特征值,那么它一定是矩阵\(A\)的特征多项式的一个根;反过来,如果\({\lambda _0}\)是矩阵\(A\)的特征多项式的一个根,那么齐次线性方程组就有非零解,设非零解是\({({x_{01}},{x_{02}}, \cdots ,{x_{0n}})^T}\),那么它就是属于\({\lambda _0}\)的特征向量。

属于于不同特征值的特征向量是线性无关的。

例如,设线性变换\(A\)的矩阵表示是

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&2&2\\2&1&2\\2&2&1\end{array}} \right)\]

\(A\)的特征值和特征向量。

因为特征多项式为

\[\left| {\lambda E - A} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\lambda - 1}&{ - 2}&{ - 2}\\{ - 2}&{\lambda - 1}&{ - 2}\\{ - 2}&{ - 2}&{\lambda - 1}\end{array}} \right|\]

所以特征值是-1(二重)和5。把特征值-1代入齐次方程组

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(\lambda - 1){x_1} - 2{x_2} - 2{x_3} = 0,}\\{ - 2{x_1} + (\lambda - 1){x_2} - 2{x_3} = 0,}\\{ - 2{x_1} - 2{x_2} + (\lambda - 1){x_3} = 0.}\end{array}} \right.\]

得到

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2{x_1} - 2{x_2} - 2{x_3} = 0,}\\{ - 2{x_1} - 2{x_2} - 2{x_3} = 0,}\\{ - 2{x_1} - 2{x_2} - 2{x_3} = 0.}\end{array}} \right.\]

解齐次方程组得,两个基础解系\({\vec \xi _1} = {(1,0, - 1)^T}\)\({\vec \xi _2} = {(0,1, - 1)^T}\),因此属于-1的全部特征向量是\({k_1}{\vec \xi _1} + {k_2}{\vec \xi _2}\),其中\({k_1},{k_2}\)是取遍实数中不全为零的全部数对。

采用同样的方法,把特征值5代入,解齐次方程组,得到基础解系\({\vec \xi _3} = {(1,1,1)^T}\),因此属于5的全部特征向量就是\(k{\vec \xi _3}\),其中\(k\)是不为零的数。

从几何上来看,特征向量也有明确的几何意义。特征\(k{\vec \xi _3}\)向量的方向经过线性变换后,保持在同一条直线上,这时或者方向不变(\({\lambda _0} \succ 0\)),或者方向相反(\({\lambda _0} \prec 0\)),至于\({\lambda _0} = 0\)时,特征向量就被线性变换成\(\vec 0\)。不同的矩阵根据构造的方法不同,会有不同的几何意义,例如二维平面上把向量沿着逆时针方向旋转90度的旋转矩阵\(M = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 1}\\1&0\end{array}} \right)\)。此时,除了零向量,没有其它向量可以在平面上旋转90度而不改变方向,所以对应的矩阵没有特征向量。

对于对称矩阵,它的特征值全是实数,一定存在\(n\)个线性无关的特征向量,且不同的特征值的特征向量必正交。求对称矩阵特征值的算法有Jacobi迭代法,Rayleigh商迭代法,对称QR迭代法等。

1.3.5. 逆矩阵

\(n\)级方阵\(A\)称为可逆的,如果有\(n\)级方阵\(B\),使得\(AB = BA = E\),这里\(E\)是单位矩阵,那么\(B\)就称为逆矩阵,记为\({A^{ - 1}}\)

首先,由于矩阵的乘法规则,只有方阵才能满足要求;其次,对于任意的矩阵\(A\),矩阵\(B\)是唯一的。

\({A_{ij}}\)是矩阵

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \cdots &{{a_{1n}}}\\{{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \ldots &{{a_{2n}}}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\{{a_{n1}}}&{{a_{n2}}}& \ldots &{{a_{nn}}}\end{array}} \right)\]

中元素\({a_{ij}}\)的代数余子式,则矩阵

\begin{eqnarray}
{A^*} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{A_{11}}}&{{A_{21}}}& \cdots &{{A_{n1}}}\\{{A_{12}}}&{{A_{22}}}& \ldots &{{A_{n2}}}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\{{A_{1n}}}&{{A_{2n}}}& \ldots &{{A_{nn}}}\end{array}} \right)
\tag{1.33}
\end{eqnarray}

称为\(A\)的伴随矩阵。易知,有\({A^*}A = A{A^*} = \left| A \right|E\)

如果\(\left| A \right| \ne 0\),则\(\left( {\frac{1}{{\left| A \right|}}{A^*}} \right)A = A\left( {\frac{1}{{\left| A \right|}}{A^*}} \right) = E\),即\({A^{ - 1}} = \frac{1}{{\left| A \right|}}{A^*}\)

如果矩阵\(A\)\(B\)可逆,那么\({A^T}\)\(AB\)也是可逆,且\({\left( {{A^T}} \right)^{ - 1}}{\rm{ = }}{\left( {{A^{ - 1}}} \right)^T}\)\({\left( {AB} \right)^{{\rm{ - }}1}}{\rm{ = }}{B^{ - 1}}{A^{ - 1}}\)

方阵的逆矩阵并不是总存在的,有几种方法可以判定逆矩阵何时存在:

  1. 矩阵的秩为\(n\)
  2. 它是非奇异的;
  3. \(\left| A \right| \ne 0\)
  4. 它的行(列)是线性无关的;

如果矩阵\(M\)是一个方阵并且其行列式的值为非零,则称矩阵\(M\)为非奇异的,否则,就称为奇异的。

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One comment on “1.3. 方阵

  1. 赵磊

    楼主~1.3.3第一个例子运算过程好像有问题,虽然结果是原方程的解

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