本文主要介绍图形学中坐标系统变换的理论基础。

图1. 坐标系统的变换

以二维为例，如图1所示。设坐标系统，原点在，两条坐标轴分别为，点在坐标系统上的坐标为；类似的，点在坐标系统上的坐标为。设坐标轴，原点经过一个矩阵变换，得到坐标系统的坐标轴和原点，即有：

(1)  

那么，坐标与之间的关系可以表示为（齐次表示，参见文章《齐次表示》）：

(2)  

注意，等式（1）右侧分别为坐标系统的坐标表示和原点，但是等式（2）的右侧却是坐标系统的坐标信息，这里简单阐述下推导过程：

1. 由坐标系统的坐标表示有：

(3)  

2. 把（1）代入（3），可以得到：

   

3. 又，易知等式（2）成立。

进一步，我们可以拓展下坐标系统变换的问题，设有个连续的坐标系统变换，它们满足条件：

   

其中，。

由上述的推导，我们易知：

(4)  

再进一步，扩展为三维空间下坐标系统的变换，类似的等式也成立，不再赘述。

图2. 在世界坐标系中的照相机示意图

最后，介绍个图形学中坐标系统变换的实例(这里采用右手坐标系)，将坐标由世界坐标系统变换至视点坐标系统，如图2所示，参见《OpenGL原理介绍》。在世界坐标系统下，照相机位于坐标，照相机向着方向观察场景，照相机垂直向上的方向为，因此照相机的配置信息能构造一个视点坐标系统，令，则该视点坐标系统的三条坐标轴分别对应，原点位于。设空间中有一个点，它在世界坐标系下的坐标表示为，它在视点坐标系统下的坐标表示为。结合等式（1）（2）易知，存在一个的齐次矩阵，使得：

(5)  

则有等式：

(6)  

由等式（5）且，可以推导出矩阵为：

(7)  

易知，为：

(8)