本文主要介绍图形学中坐标系统变换的理论基础。
图1. 坐标系统的变换
以二维为例,如图1所示。设坐标系统,原点在
,两条坐标轴分别为
,点
在坐标系统
上的坐标为
;类似的,点
在坐标系统
上的坐标为
。设坐标轴
,原点
经过一个矩阵变换
,得到坐标系统
的坐标轴和原点,即有:
(1)
那么,坐标与
之间的关系可以表示为(齐次表示,参见文章《齐次表示》):
(2)
注意,等式(1)右侧分别为坐标系统的坐标表示和原点,但是等式(2)的右侧却是坐标系统
的坐标信息,这里简单阐述下推导过程:
1. 由坐标系统的坐标表示有:
(3)
2. 把(1)代入(3),可以得到:
3. 又,易知等式(2)成立。
进一步,我们可以拓展下坐标系统变换的问题,设有个连续的坐标系统变换,它们满足条件:
其中,。
由上述的推导,我们易知:
(4)
再进一步,扩展为三维空间下坐标系统的变换,类似的等式也成立,不再赘述。
图2. 在世界坐标系中的照相机示意图
最后,介绍个图形学中坐标系统变换的实例(这里采用右手坐标系),将坐标由世界坐标系统变换至视点坐标系统,如图2所示,参见《OpenGL原理介绍》。在世界坐标系统下,照相机位于坐标,照相机向着
方向观察场景,照相机垂直向上的方向为
,因此照相机的配置信息能构造一个视点坐标系统,令
,则该视点坐标系统的三条坐标轴
分别对应
,原点位于
。设空间中有一个点
,它在世界坐标系下的坐标表示为
,它在视点坐标系统下的坐标表示为
。结合等式(1)(2)易知,存在一个
的齐次矩阵
,使得:
(5)
则有等式:
(6)
由等式(5)且,可以推导出矩阵
为:
(7)
易知,为:
(8)