本文主要介绍图形学中坐标系统变换的理论基础。

图1. 坐标系统的变换

以二维为例，如图1所示。设坐标系统${{\Gamma }_{1}}$，原点在${{\theta }_{1}}=\left( 0,0,1 \right)$，两条坐标轴分别为${{\vec{i}}_{1}}=\left( 1,0,0 \right),{{\vec{j}}_{1}}=\left( 0,1,0 \right)$，点$P$在坐标系统${{\Gamma }_{1}}$上的坐标为$\left( {{a}_{1}},{{b}_{1}} \right)$；类似的，点$P$在坐标系统${{\Gamma }_{2}}$上的坐标为$\left( {{a}_{2}},{{b}_{2}} \right)$。设坐标轴${{\vec{i}}_{1}},{{\vec{j}}_{1}}$，原点${{\theta }_{1}}$经过一个矩阵变换$M$，得到坐标系统${{\Gamma }_{2}}$的坐标轴和原点，即有：

$${\vec i_2} = M \cdot {\vec i_1},{\vec j_2} = M \cdot {\vec j_1},{\theta _2} = M \cdot {\theta _1} \tag{1}$$

那么，坐标$\left( {{a}_{1}},{{b}_{1}} \right)$与$\left( {{a}_{2}},{{b}_{2}} \right)$之间的关系可以表示为（齐次表示，参见文章《齐次表示》）：

$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}\\{{b_1}}\\1\end{array}} \right) = M \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_2}}\\{{b_2}}\\1\end{array}} \right) \tag{2}$$

注意，等式（1）右侧分别为坐标系统${{\Gamma }_{1}}$的坐标表示和原点，但是等式（2）的右侧却是坐标系统${{\Gamma }_{2}}$的坐标信息，这里简单阐述下推导过程：

1. 由坐标系统${{\Gamma }_{1}},{{\Gamma }_{2}}$的坐标表示有：

$${a_1}{\vec i_1} + {b_1}{\vec j_1} + {\theta _1} = {a_2}{\vec i_2} + {b_2}{\vec j_2} + {\theta _2} \tag{3}$$

2. 把（1）代入（3），可以得到：

$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\vec i}_1}}&{{{\vec j}_1}}&{{\theta _1}}\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}\\{{b_1}}\\1\end{array}} \right) = M\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\vec i}_1}}&{{{\vec j}_1}}&{{\theta _1}}\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_2}}\\{{b_2}}\\1\end{array}} \right)$$

3. 又${{\vec{i}}_{1}}=\left( 1,0,0 \right),{{\vec{j}}_{1}}=\left( 0,1,0 \right),{{\theta }_{1}}=\left( 0,0,1 \right)$，易知等式（2）成立。

进一步，我们可以拓展下坐标系统变换的问题，设有$n$个连续的坐标系统变换，它们满足条件：

$${\vec i_n} = {M_{n - 1}} \cdot {\vec i_{n - 1}},{\vec j_n} = {M_{n - 1}} \cdot {\vec j_{n - 1}},{\theta _n} = {M_{n - 1}} \cdot {\theta _{n - 1}}$$

其中，$n\succ 1,{{\vec{i}}_{1}}=\left( 1,0,0 \right),{{\vec{j}}_{1}}=\left( 0,1,0 \right),{{\theta }_{1}}=\left( 0,0,1 \right)$。

由上述的推导，我们易知：

$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}\\{{b_1}}\\1\end{array}} \right) = {M_{n - 1}} \cdot {M_{n - 2}} \cdots {M_{n - 1}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_n}}\\{{b_n}}\\1\end{array}} \right) \tag{4}$$

再进一步，扩展为三维空间下坐标系统的变换，类似的等式也成立，不再赘述。

图2. 在世界坐标系中的照相机示意图

最后，介绍个图形学中坐标系统变换的实例(这里采用右手坐标系)，将坐标由世界坐标系统变换至视点坐标系统，如图2所示，参见《OpenGL原理介绍》。在世界坐标系统下，照相机位于坐标$eye=\left( ey{{e}_{x}},ey{{e}_{y}},ey{{e}_{z}} \right)$，照相机向着$\overrightarrow{look}$方向观察场景，照相机垂直向上的方向为$\overrightarrow{up}$，因此照相机的配置信息能构造一个视点坐标系统，令$\overrightarrow{n}=-\overrightarrow{look},\overrightarrow{u}=\overrightarrow{up}\times \overrightarrow{n},\overrightarrow{v}=\overrightarrow{n}\times \overrightarrow{u}$，则该视点坐标系统的三条坐标轴$x,y,z$分别对应$\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{n}$，原点位于$eye$。设空间中有一个点$P$，它在世界坐标系下的坐标表示为${{P}_{world}}$，它在视点坐标系统下的坐标表示为${{P}_{view}}$。结合等式（1）（2）易知，存在一个$4\times 4$的齐次矩阵$M$，使得：

$$M \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}0\\0\\0\\1\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ey{e_x}}\\{ey{e_y}}\\{ey{e_z}}\\1\end{array}} \right),M \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\\0\\0\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_x}}\\{{u_y}}\\{{u_z}}\\0\end{array}} \right),M \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}0\\1\\0\\0\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{v_x}}\\{{v_y}}\\{{v_z}}\\0\end{array}} \right),M \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}0\\0\\1\\0\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{n_x}}\\{{n_y}}\\{{n_z}}\\0\end{array}} \right) \tag{5}$$

则有等式：

$$M \cdot {P_{view}} = {P_{world}} \tag{6}$$

由等式（5）且$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n}=\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{u}=0$，可以推导出矩阵$M$为：

$$M = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_x}}&{{u_y}}&{{u_z}}&0\\{{v_x}}&{{v_y}}&{{v_z}}&0\\{{n_z}}&{{n_z}}&{{n_z}}&0\\{ey{e_x}}&{ey{e_y}}&{ey{e_z}}&1\end{array}} \right) \tag{7}$$

易知，${{M}^{-1}}$为：

$$M = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_x}}&{{v_x}}&{{n_x}}&0\\{{u_y}}&{{v_y}}&{{n_y}}&0\\{{u_z}}&{{v_z}}&{{n_z}}&0\\{ - eye \cdot \overrightarrow u }&{ - eye \cdot \overrightarrow v }&{ - eye \cdot \overrightarrow n }&1\end{array}} \right) \tag{8}$$