齐次表示在图形学中占有非常重要的位置。点表示三维空间中的一个位置，向量表示一个方向，没有具体的位置。使用$3\times 3$的矩阵，可以对坐标进行仿射变换，比如旋转、缩放以及错切变换等，然而使用这种矩阵并不能进行平移变换。点的平移是有意义的，但是向量的平移是没有意义的。

简单来说，在三维空间上，点和向量的表示都是3维的，把扩展1维，就得到齐次向量表示，即$\vec{p}=\left( {{p}_{x}},{{p}_{y}},{{p}_{z}},{{p}_{w}} \right)$。若${{p}_{w}}$为零，$\vec{p}$表示一个三维向量；若${{p}_{w}}$非零，则$\vec{p}$表示点$\left( {{p}_{x}}/{{p}_{w}},{{p}_{y}}/{{p}_{w}},{{p}_{z}}/{{p}_{w}} \right)$。

齐次向量扩展1维，那么原先由$3\times 3$的矩阵表示的变换也需要扩展1维，变成$4\times 4$的齐次矩阵。$4\times 4$的齐次矩阵可以实现旋转、缩放和错切变换，形式为：

$$M = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{m_{00}}}&{{m_{01}}}&{{m_{02}}}&0\\{{m_{10}}}&{{m_{11}}}&{{m_{12}}}&0\\{{m_{20}}}&{{m_{21}}}&{{m_{22}}}&0\\0&0&0&1\end{array}} \right)$$

$3\times 3$矩阵不能表示的位移变换，也可以采用$4\times 4$的齐次矩阵来表示

$$T = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0&{{t_x}}\\0&1&0&{{t_y}}\\0&0&1&{{t_z}}\\0&0&0&1\end{array}} \right)$$

易知，若$\vec{v}$是一个向量$\vec{v}=\left( {{v}_{x}},{{v}_{y}},{{v}_{z}},0 \right)$，则$T\cdot \vec{v}$得到的结果仍等于$\vec{v}$，因为向量的位移是没有意义的。

图1. 点的透视投影

齐次表示除了能表表三维空间上所有的仿射变换（两条互相平面的直线，变换后，仍然互相平行），还可以表示透视变换，参见文章《OpenGL原理介绍》，如图1所示。一个点$P=\left( {{p}_{x}},{{p}_{y}},{{p}_{z}} \right)$投影到照相机的近平面上$\left( {{x}^{*}},{{y}^{*}} \right)$，${{p}_{z}}$是在$z$轴的负方向上，$N$表示投影平面到源点的距离，则有${{x}^{*}}/{{p}_{x}}=N/\left( -{{p}_{z}} \right)$，则${{x}^{*}}=N{{p}_{x}}/\left( -{{p}_{z}} \right)$，同理，有${{y}^{*}}=N{{p}_{y}}/\left( -{{p}_{z}} \right)$，即：

$\left( {{x}^{*}},{{y}^{*}} \right)=\left( N\frac{{{p}_{x}}}{-{{p}_{z}}},N\frac{{{p}_{y}}}{-{{p}_{z}}} \right)$

透视变换不能把深度信息给丢弃掉，所以图形学里面引入了伪深度的概念，来表示$z$，透视变换后的坐标为：

$\left( {{x}^{*}},{{y}^{*}},{{z}^{*}} \right)=\left( N\frac{{{p}_{x}}}{-{{p}_{z}}},N\frac{{{p}_{y}}}{-{{p}_{z}}},\frac{a{{p}_{z}}+b}{-{{p}_{z}}} \right)$

其中，$a=-\frac{F+N}{F-N},b=-\frac{2NF}{F-N}$。

我们很容易用4x4的齐次矩阵来表示透视变换，如下所示：

$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}N&0&0&0\\0&N&0&0\\0&0&a&b\\0&0&{ - 1}&0\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{wp}\\{w{p_y}}\\{w{p_z}}\\w\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{wN{p_x}}\\{wN{p_y}}\\{w(a{p_z} + b)}\\w\end{array}} \right)$$

$4\times 4$的齐次矩阵既可以表示仿射变换也可以表示透视变换，大大简化了硬件的设计要求，图形学中起到了非常重要的位置。