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欧拉角、四元数和矩阵的对比

三维空间的旋转可以用欧拉角,旋转矩阵,轴-角,四元数,双四元数来表示,本文主要总结这些表示方法的优缺点。

一.  欧拉角(Euler-Angles

1.1    介绍

欧拉角包括3个旋转,根据这3个旋转来指定一个刚体的朝向。这3个旋转分别绕x轴,y轴和z轴,分别称为Pitch,Yaw和Roll,如下图所示。欧拉角可以表示成z-x-z,x-y-x,z-y-z等形式,旋转的顺序影响结果。

euler_pitch
Pitch
euler_yaw
Yaw
euler_roll
Roll

图1. 欧拉角的表示

欧拉角很重要的一个优点就是直观,容易理解。

欧拉角主要有下面几个缺点:

(1)       欧拉角是不可传递的,旋转的顺序影响旋转的结果,不同的应用又可能使用不同的旋转顺序,旋转顺序无法统一;

(2)       3个旋转的角度可以不受限制,即可以是10000度,也可以是-1500度;

(3)       可能造成万向节死锁(Gimbal Lock)。

1.2 平万向节死锁

当两个环发生重叠的时候,就有丢失了一个自由度,如图2所示。对万向节死锁可以参考【1】【2】【3】,特别是【1】提供的视频,对知识点的介绍非常的形象生动。也正是由于锁的存在,无法使用欧拉角实现球面平滑的插值。

Gimbal_lock_airplane

图2. 万向节死锁

二. 旋转矩阵

用3*3的矩阵,可以表示三维空间中所有的旋转,设\(\theta \)表示沿着轴的方向望去时,方向是顺时针的旋转角度。则绕着X轴、Y轴、Z轴旋转\(\theta \)角,对应的旋转矩阵表示如下所示:

\(X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0\\0&{\cos \theta }&{ - \sin \theta }\\0&{\sin \theta }&{\cos \theta }\end{array}} \right)\) \(Y = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \theta }&0&{\sin \theta }\\0&1&0\\{ - \sin \theta }&0&{\cos \theta }\end{array}} \right)\) \(Z = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \theta }&{ - \sin \theta }&0\\{\sin \theta }&{\cos \theta }&0\\0&0&1\end{array}} \right)\)

旋转矩阵支持传递性,使用起来很简单方便,但是存在下面一些缺点:

(1)       浪费内存,至少需要12个参数,来表示一个6个自由度的结构;

(2)       可能就引入不该有的缩放(Scaling)和错切(Sheering)

(3)       矩阵插值的实现难度很大;

(4)       不直观。

三.  -角度

绕着单位长度的轴旋转某个角度,使用组合对\((\vec n,\theta )\)

该方向很直观,避免了欧拉角使用时的万向节死锁;但是实现多个旋转的组合时,比较困难;不能简单的通过对4个元素的线性插值来实现轴-角度的插值,会引起错误。

四. 四元数

参考《四元数》,也可以参考【5】【6】【7】,这里只简单的描述下该方法的优缺点。

它的缺点就是很不直观,理解起来较费劲。但是存在很多优点:

(1)       更健壮,不会出现欧拉角中出现的万向节死锁。

(2)       更高效,花费更少的空间和时间;当使用有限的精度对矩阵进行大量的操作,就会发生漂移(Drift),实数的四舍五入就会不断累积到矩阵中。由于漂移的存在,旋转的操作就可能发生错误,所以要对矩阵进行归一化操作,重置矩阵,这是很费时的操作。四元数只有4个值,而矩阵有9个,它经历的漂移作用就小,而且归一化时间就更少。

(3)       使用起来很简单

参考

【1】       http://v.youku.com/v_show/id_XNzkyOTIyMTI=.html

【2】       http://www.cnblogs.com/soroman/archive/2008/03/24/1118996.html

【3】       http://www.cnitblog.com/luckydmz/archive/2010/09/07/68674.aspx

【4】       Kenwright, Ben. "A Beginners Guide to Dual-Quaternions."

【5】       http://www.cprogramming.com/tutorial/3d/quaternions.html

【6】       http://isg.cs.tcd.ie/projects/DualQuaternions/

【7】       http://www.gamedev.net/page/resources/_/technical/math-and-physics/quaternion-powers-r1095

 

 

 

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