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Jan152014

任意点与平面的反射矩阵

问题描述：设三维空间上，存在一个点V=\left( x,y,z \right)，一个平面\Gamma :P\cdot \vec{n}+d=0，求点V经过平面\Gamma的投影点V'，其中，V'=\left( x',y',z' \right)，\vec{n}=\left( {{n}_{x}},{{n}_{y}},{{n}_{z}} \right)，如图1所示。

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图1. 点V'是点V经过平面\Gamma的投影点

设l表示点V到平面\Gamma的有向距离，则有：

l=\frac{V\cdot \vec{n}+d}{\left\| {\vec{n}} \right\|} \tag{1}

由于点V和点V'到平面\Gamma的距离大小相等，且\overline{VV'}垂直于平面\Gamma，则有：

V-V'=2l\cdot \frac{{\vec{n}}}{\left\| {\vec{n}} \right\|} \tag{2}

把（1）代入（2）式中，得到：

V'=V-\frac{2\vec{n}\left( V\cdot \vec{n}+d \right)}{{{\left\| {\vec{n}} \right\|}^{2}}}=V-\frac{2\left( V\cdot \vec{n} \right)\vec{n}}{{{\left\| {\vec{n}} \right\|}^{2}}}-\frac{2d\vec{n}}{{{\left\| {\vec{n}} \right\|}^{2}}} \tag{3}

设点V和点V'分别用齐次坐标表示（参见《齐次表示》），则V={{\left( x,y,z,1 \right)}^{T}}，V'={{\left( x',y',z',1 \right)}^{T}}，那么等式（3）可以表示成齐次矩阵与齐次坐标乘积的形式，即V'=M\cdot V，则为：

 

(4)   \[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{x'}\\{y'}\\{z'}\\1\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{1 - \frac{{2n_x^2}}{{{{\left\| {\vec n} \right\|}^2}}}}&{ - \frac{{2{n_x}{n_y}}}{{{{\left\| {\vec n} \right\|}^2}}}}&{ - \frac{{2{n_x}{n_z}}}{{{{\left\| {\vec n} \right\|}^2}}}}&{ - \frac{{2{n_x}d}}{{{{\left\| {\vec n} \right\|}^2}}}}\\{ - \frac{{2{n_y}{n_x}}}{{{{\left\| {\vec n} \right\|}^2}}}}&{1 - \frac{{2n_y^2}}{{{{\left\| {\vec n} \right\|}^2}}}}&{ - \frac{{2{n_y}{n_z}}}{{{{\left\| {\vec n} \right\|}^2}}}}&{ - \frac{{2{n_y}d}}{{{{\left\| {\vec n} \right\|}^2}}}}\\{ - \frac{{2{n_z}{n_x}}}{{{{\left\| {\vec n} \right\|}^2}}}}&{ - \frac{{2{n_z}{n_y}}}{{{{\left\| {\vec n} \right\|}^2}}}}&{1 - \frac{{2n_z^2}}{{{{\left\| {\vec n} \right\|}^2}}}}&{ - \frac{{2{n_z}d}}{{{{\left\| {\vec n} \right\|}^2}}}}\\0&0&0&1\end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}x\\y\\z\\1\end{array}} \right) \]

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One comment on “任意点与平面的反射矩阵”

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