问题描述：设三维空间上，存在一个点$V=\left( x,y,z \right)$，一个平面$\Gamma :P\cdot \vec{n}+d=0$，求点$V$经过平面$\Gamma$的投影点$V'$，其中，$V'=\left( x',y',z' \right)$，$\vec{n}=\left( {{n}_{x}},{{n}_{y}},{{n}_{z}} \right)$，如图1所示。

图1. 点$V'$是点$V$经过平面$\Gamma$的投影点

设$l$表示点$V$到平面$\Gamma$的有向距离，则有：

$l=\frac{V\cdot \vec{n}+d}{\left\| {\vec{n}} \right\|} \tag{1}$

由于点$V$和点$V'$到平面$\Gamma$的距离大小相等，且$\overline{VV'}$垂直于平面$\Gamma$，则有：

$V-V'=2l\cdot \frac{{\vec{n}}}{\left\| {\vec{n}} \right\|} \tag{2}$

把（1）代入（2）式中，得到：

$V'=V-\frac{2\vec{n}\left( V\cdot \vec{n}+d \right)}{{{\left\| {\vec{n}} \right\|}^{2}}}=V-\frac{2\left( V\cdot \vec{n} \right)\vec{n}}{{{\left\| {\vec{n}} \right\|}^{2}}}-\frac{2d\vec{n}}{{{\left\| {\vec{n}} \right\|}^{2}}} \tag{3}$

设点$V$和点$V'$分别用齐次坐标表示（参见《齐次表示》），则$V={{\left( x,y,z,1 \right)}^{T}}$，$V'={{\left( x',y',z',1 \right)}^{T}}$，那么等式（3）可以表示成齐次矩阵与齐次坐标乘积的形式，即$V'=M\cdot V$，则为：

 

$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{x'}\\{y'}\\{z'}\\1\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{1 - \frac{{2n_x^2}}{{{{\left\| {\vec n} \right\|}^2}}}}&{ - \frac{{2{n_x}{n_y}}}{{{{\left\| {\vec n} \right\|}^2}}}}&{ - \frac{{2{n_x}{n_z}}}{{{{\left\| {\vec n} \right\|}^2}}}}&{ - \frac{{2{n_x}d}}{{{{\left\| {\vec n} \right\|}^2}}}}\\{ - \frac{{2{n_y}{n_x}}}{{{{\left\| {\vec n} \right\|}^2}}}}&{1 - \frac{{2n_y^2}}{{{{\left\| {\vec n} \right\|}^2}}}}&{ - \frac{{2{n_y}{n_z}}}{{{{\left\| {\vec n} \right\|}^2}}}}&{ - \frac{{2{n_y}d}}{{{{\left\| {\vec n} \right\|}^2}}}}\\{ - \frac{{2{n_z}{n_x}}}{{{{\left\| {\vec n} \right\|}^2}}}}&{ - \frac{{2{n_z}{n_y}}}{{{{\left\| {\vec n} \right\|}^2}}}}&{1 - \frac{{2n_z^2}}{{{{\left\| {\vec n} \right\|}^2}}}}&{ - \frac{{2{n_z}d}}{{{{\left\| {\vec n} \right\|}^2}}}}\\0&0&0&1\end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}x\\y\\z\\1\end{array}} \right) \tag{4}$$